§ 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Равномерное движение встречается в жизни довольно редко. Как правило, за равные промежутки времени тело проходит разные пути. Движение тела в этом случае является неравномерным.

Для характеристики неравномерного движения в некоторых случаях пользуются средней путевой скоростью.

Средней путевой скоростью называют физическую величину, равную отношению пути к промежутку времени, за который этот путь был пройден.

vср.п=ltv_{ср. п} = \frac{l}{t}vср.п​=tl​.

Средняя путевая скорость характеризует движение в целом и не содержит информации о его деталях. Так, зная среднюю путевую скорость на некотором участке траектории, можно определить время, за которое был пройден этот участок, но нельзя найти время, за которое была пройдена его половина.

Тем не менее в некоторых случаях знание средней путевой скорости позволяет приблизительно определить путь, который будет пройден за данное время, или оценить время, необходимое для прохождения пути. Именно расчёт средней путевой скорости лежит в основе алгоритма навигатора, оценивающего время, через которое вы прибудете в конечную точку маршрута.

В физике используют ещё одно понятие средней скорости, связанное не с пройденным путём, а с перемещением, — среднюю скорость перемещения.

Средней скоростью перемещения называют физическую величину, равную отношению перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение.

v⃗ср=s⃗t\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{s}}{t}vср​=ts​.

Средняя скорость перемещения — векторная величина, её направление совпадает с направлением перемещения.

Как и средняя путевая скорость, средняя скорость перемещения характеризует движение в целом. Она позволяет определить перемещение, совершённое за всё время, но не позволяет вычислять перемещение, а значит, и координаты тела в любой момент времени.

Что же нужно сделать для того, чтобы охарактеризовать быстроту движения в каждой точке траектории в каждый момент времени?

Допустим, что некоторое тело движется прямолинейно, но не равномерно. Будем уменьшать промежуток времени, за который мы рассматриваем перемещение тела (вместе с ним будет уменьшаться и перемещение), и определять среднюю скорость перемещения (рис. 12). Получающиеся значения модуля средней скорости ∣s⃗1∣t1\frac{|\vec{s}_1|}{t_1}t1​∣s1​∣​, ∣s⃗2∣t2\frac{|\vec{s}_2|}{t_2}t2​∣s2​∣​, ∣s⃗3∣t3\frac{|\vec{s}_3|}{t_3}t3​∣s3​∣​, … будут всё меньше и меньше отличаться друг от друга, приближаясь к некоторому предельному значению. Таким образом, мы приходим к физической величине, характеризующей быстроту движения в данный момент времени в данной точке траектории, — мгновенной скорости.

Мгновенная скорость, или скорость в данный момент времени в данной точке траектории, равна отношению малого перемещения на участке траектории, примыкающем к этой точке, к малому промежутку времени, в течение которого это перемещение совершается.

Что означают слова «малый промежуток времени»? Под малым подразумевают такой промежуток времени, при дальнейшем уменьшении которого полученные новые значения средней скорости практически не отличаются друг от друга. Другими словами, движение в течение такого промежутка времени почти неотличимо от прямолинейного равномерного.

Как и средняя скорость перемещения, мгновенная скорость является векторной величиной. Направление мгновенной скорости совпадает с направлением малого перемещения. В дальнейшем, говоря о скорости неравномерного движения, мы будем иметь в виду именно мгновенную скорость.

Из всех видов неравномерного движения остановимся на самом простом — равноускоренном, при котором вектор скорости тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Если скорость некоторого тела, движущегося равноускоренно, за промежуток времени ttt изменилась от v⃗0\vec{v}_0v0​ до v⃗\vec{v}v, то за каждую единицу времени вектор скорости менялся на величину, равную v⃗−v⃗0t\frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}tv−v0​​. Это отношение обозначают символом a⃗\vec{a}a и называют ускорением.

a⃗=v⃗−v⃗0t\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}a=tv−v0​​.

Ускорением тела при равноускоренном движении называют векторную физическую величину, равную отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

a⃗=v⃗−v⃗0t\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}a=tv−v0​​

Как векторная величина ускорение характеризуется не только модулем, но и направлением. Чем больше модуль ускорения, тем быстрее меняется скорость тела.

Из определения ускорения следует, что в СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с2м/с^2м/с2).

1 м/с1 с=1 м/с2\frac{1\ м/с}{1\ с} = 1\ м/с^21 с1 м/с​=1 м/с2.

1 м/с21\ м/с^21 м/с2 — это ускорение такого равноускоренного движения, при котором за 1 с модуль изменения скорости равен 1 м/с.

Используют и другие единицы ускорения, например 1 см/с21\ см/с^21 см/с2.

Равноускоренное движение может быть прямолинейным и криволинейным. Мы будем рассматривать прямолинейное равноускоренное движение. В этом случае векторы v⃗\vec{v}v и v⃗0\vec{v}_0v0​ направлены вдоль одной прямой — траектории движения. Вдоль этой же прямой удобно направить координатную ось.

Вычислить ускорение тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, можно с помощью уравнения, в которое входят проекции векторов ускорения и скорости:

ax=vx−v0xta_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}ax​=tvx​−v0x​​.

Покажем на конкретных примерах, как находится ускорение.

Санки, которые равноускоренно скатываются с горы (рис. 13, а), участок пути ABABAB прошли за 4 с. При этом в точке AAA они имели скорость, равную 0,4 м/с, а в точке BBB — скорость, равную 2 м/с (так как санки движутся поступательно, можно принять их за материальную точку).

Определим, с каким ускорением двигались санки на участке ABABAB.

За начало отсчёта времени следует принять момент прохождения санками точки AAA, поРис. 13. Равноускоренное движение санок, скатывающихся с горы (а) и продолжающих движение по равнине (б)

Поскольку, согласно условию, именно от этого момента отсчитывается промежуток времени, за который модуль вектора скорости изменился от 0,4 до 2 м/с.

Проведём ось X, параллельную вектору скорости движения санок и направленную в ту же сторону. Найдём проекции векторов v⃗0\vec{v}_0v0​ и v⃗\vec{v}v на ось X. Обе эти проекции положительны и равны модулям соответствующих векторов: v0x=0,4 м/сv_{0x} = 0,4\ \text{м/с}v0x​=0,4 м/с, vx=2 м/сv_x = 2\ \text{м/с}vx​=2 м/с.

Запишем условие задачи и решим её.

Дано:
v0x=0,4 м/сv_{0x} = 0,4\ \text{м/с}v0x​=0,4 м/с
vx=2 м/сv_x = 2\ \text{м/с}vx​=2 м/с
t=4 сt = 4\ \text{с}t=4 с
axa_xax​ — ?

Решение:
ax=vx−v0xta_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}ax​=tvx​−v0x​​,
ax=2 м/с−0,4 м/с4 с=a_x = \frac{2\ \text{м/с} - 0,4\ \text{м/с}}{4\ \text{с}} =ax​=4 с2 м/с−0,4 м/с​=
=0,4 м/сс=0,4 м/с2= 0,4\ \frac{\text{м/с}}{\text{с}} = 0,4\ \text{м/с}^2=0,4 см/с​=0,4 м/с2.

Ответ: ax=0,4 м/с2a_x = 0,4\ \text{м/с}^2ax​=0,4 м/с2.

Проекция вектора ускорения на ось X получилась положительной, значит, вектор ускорения сонаправлен с осью X и со скоростью движения санок.

Если векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону, то скорость растёт.

Теперь рассмотрим пример, в котором санки, скатившись с горы, движутся по горизонтальному участку CD и останавливаются в точке D (рис. 13, б). Известно, что в точке C санки имели скорость 1,2 м/с, а участок CD был пройден ими за 6 с.

Рассчитаем ускорение санок. Началом отсчёта времени будем считать момент, когда санки проходят точку C. Тогда модуль вектора начальной скорости равен 1,2 м/с, а конечной — нулю.

Проведём ось X параллельно отрезку CD и сонаправим её со скоростью движения санок, как показано на рисунке 13, б. При этом проекция вектора скорости санок на ось X в любой момент их движения будет положительна и равна модулю вектора скорости. В частности, при t0=0t_0 = 0t0​=0 v0x=1,2 м/сv_{0x} = 1,2\ \text{м/с}v0x​=1,2 м/с, а при t=6 сt = 6\ \text{с}t=6 с vx=0v_x = 0vx​=0.

Запишем условие задачи и решим её.

Дано:
v0x=1,2 м/сv_{0x} = 1,2\ \text{м/с}v0x​=1,2 м/с
vx=0v_x = 0vx​=0
t=6 сt = 6\ \text{с}t=6 с
axa_xax​ — ?

Решение:
ax=vx−v0xta_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}ax​=tvx​−v0x​​,
ax=0−1,2 м/с6 с=−0,2 м/с2a_x = \frac{0 - 1,2\ \text{м/с}}{6\ \text{с}} = -0,2\ \text{м/с}^2ax​=6 с0−1,2 м/с​=−0,2 м/с2.

Ответ: ax=−0,2 м/с2a_x = -0,2\ \text{м/с}^2ax​=−0,2 м/с2.

Проекция ускорения на ось X отрицательна. Это значит, что вектор ускорения a⃗\vec{a}a направлен противоположно оси X и соответственно противоположно скорости движения.

Если векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, то скорость уменьшается.

Мы познакомились с ускорением при равноускоренном движении. Однако понятие ускорения шире. Каким бы сложным ни было движение, говорят об ускорении тела в каждой точке траектории в каждый момент времени. При этом под ускорением (иногда его называют мгновенным ускорением) понимают отношение изменения скорости к малому промежутку времени, за который это изменение произошло. При равноускоренном движении мгновенное ускорение во всех точках траектории одинаково.